この日記は「数字のはなし（問題編）」の続きとなっています。
まずは、そちらをお読みください。

先の問題は「モンティ・ホール問題」と呼ばれています。
（モンティ・ホールジレンマともいいます）

【問題】
Ａ、Ｂ、Ｃの３つのドアがあり、内１つに当たりのドアがある。
プレイヤーはドアを１つ選択し、当たりのドアを当てるゲームである。
プレイヤーは「Ａ」のドアを選択するが、司会者がプレイヤーが選ばなかったドアのうち
１つだけハズレのドアを開ける。（ここでは「Ｃ」のドアとする）
もちろん、司会者はどのドアが当たりかを知っている。
そこで選んだドアを変更するかと問われるが、プレイヤーはドアを変更すべきか？
以下の選択しから１つ選択せよ。

Ａ.最初の直感を信じるぞ！「Ａ」のドアを開ける。
Ｂ.やっぱり選びなおそう！「Ｂ」のドアを開ける。
Ｃ.どっちも同じ確率だ！コイントスでもしたらいいじゃない。


この問題で多くの人は「Ｃ」と答えると思います、「どっちを選んでも同じだ！」ってね。
（最初、私も自信をもってＣと答えました・・・）

実は答えは「Ｂ」なんです！
変更した方が得なんですねー。
しかも、変更した方が２倍も当たる確率が上がるんです！
すごいでしょ？
２倍ですよ、２倍！！
この何気ない選択が、結果として２倍も差がつくとは、薄ら寒いものを感じますね。

この問題は、なぜ有名になったか・・・？
面白いエピソードがあるんです。

米国にマリリン・ヴォス・サヴァントという聡明な女性がいます。
彼女のＩＱはなんと２２８！
ギネスブックにも認定されており、米国では非常に有名な方です。

１９９０年、数学界を揺るがす事件が彼女の元でおきます。
彼女の連載している雑誌コラムに送られてきた質問が、事件の発端となりました。
質問については、先の問題と同じような内容だったのですが、彼女はアッサリと「変更するべき」と答えます。

そしたら、さぁ大変！！
そのコラムを見た人たちから、約一万通あまりの「彼女は間違っている」と投稿が来たのです！
その中には数百人におよぶ数学者も混じっていました。
数学を生業とする人達ですら、この間違っていると指摘してきたのです。
まぁ、彼女はＩＱが高いとはいえ数学者ではないので、「知ったかぶりするな」という思いが強かったのでしょう。

議論の末、彼女の言い分が正しい事が証明されるのですが、この事件はアメリカに一大センセーショナルを巻き起こしました。
初歩的な確率の問題に関わらず、多くの数学者（中には著名な数学者もいた）が間違えてしまったのです。

どうです、面白いエピソードでしょ？
いやー、数学って奥が深いですね。

・・・と、答えに納得いかない人がいそうですね。
一応解説をします、自力で解明すると凄い気持ちいいんですけどね。

まずは変更せずに「Ａ」のドアを開けた場合。
これは、アタリの確率は1/3ですね、そしてハズレの確率は2/3です。

そして、ドアを変更して「Ｂ」のドアを開けた場合。
この場合は、アタリの確率よりも「ハズレの確率」を考えた方がシンプルです。
もし、アタリが「Ｂ」or「Ｃ」だった場合、「Ａ」のドアから変更すると強制的にアタリになりますね。
（「Ｃ」がアタリだった場合は、司会者は「Ｂ」のドアが開ける）
ドアを変更してハズレになるパターンは、アタリが最初に選択した「Ａ」のドアにある場合だけなんです。
ハズレの確率は「Ａ」のドアにアタリが入っている場合、つまり確率1/3。
アタリの確率は「Ｂ」＆「Ｃ］のドアにアタリが入っている場合、つまり確率2/3です。

結論として、「ドアを変更しない」場合のアタリ確率は1/3。
「ドアを変更した」場合のアタリ確率は2/3となります。

つたない解説で申し訳ない・・・

こんなありがちなシチュエーションでも、奥深さがあるんですね。
数学に限らず学問ってのは、こういうのがあるから面白いですね。